Semestre 1

Niveau : L3 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis : des connaissances solides en algèbre linéaire
Modalités de contrôle des connaissances : un examen partiel et un examen terminal


Intervenants : Antoine Ducros (cours) et Arnaud Vanhaecke (TD).

Objectifs et description du cours

  • Vocabulaire ensembliste élémentaire, relations d'équivalence, quotients.

  • Groupes, sous-groupes, quotient d'un groupe par un sous-groupe, sous-groupes distingué.
    Exemples de base : groupes de bijections, groupes linéaires...
    Notions d'anneau et de corps (on se contentera dans ce cours des définitions et de quelques exemples, sans étude systématique).
  • Propriétés de Z, arithmétique élémentaire, groupes abéliens de type fini.
  • Groupe opérant sur un ensemble, groupe symétrique. Applications : théorèmes de Sylow.
  • Suites exactes, produit semi-direct, dévissages des groupes (Jordan-Hölder, groupes résolubles, groupes nilpotents...).
  • Groupes libres, groupes définis par générateurs et relations.
  • Généralités sur les représentations de groupes, après un peu d'algèbre linéaire (dualité, produit tensoriel). Sous-représentations, représentations quotient, représentations induites, linéarisation d'une action de groupe...Représentations irréductibles, indécomposables, lemme de Schur, existence et unicité de la décomposition en somme directe de représentations irréductibles sous des hypothèses convenables.
    Caractère d'une représentation. Produit tensoriel de représentations.
  • Représentations complexes des groupes finis, orthogonalité des caractères, construction de tables de caractères.
  • Formes bilinéaires, formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, théorème de Witt, classification sur quelques corps particuliers.
  • Étude du groupe orthogonal d'une forme quadratique avec traitement complet du cas de la dimension 2 (en détail) ; théorème de Cartan-Dieudonné.

Niveau : L3 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : 70 h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours

Niveau : L3 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours

Niveau : Initiation / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 6 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours