Semestre 1

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral et travaux dirigés/ ECTS : 12 / Volume horaire : 3h de cours, 2h de TD / Objectifs et description du cours

Ariane Mézard et Arnaud Eteve


Ce cours a pour but de fournir les bases d'algèbre commutative nécessaires à tout étudiant désirant poursuivre en théorie algébrique des nombres ou en géométrie algébrique. Nous aborderons donc les notions suivantes :
- Anneaux commutatifs : anneaux intègres, anneaux de Bézout, anneaux principaux et euclidiens, anneaux factoriels, anneaux de polynômes, de séries formelles, anneaux d'entiers algébriques, anneaux de Dedekind, anneaux de valuation. Applications arithmétiques.
-- Idéaux dans les anneaux commutatifs. : idéaux premiers, idéaux maximaux, divisibilité, factoris ation, base de Gröbner,. Applications géométriques.
-- Opérations sur les anneaux commutatifs et leurs modules : introduction au langage des catégories. Lemme de Yoneda, localisation, anneaux et modules noetheriens, structure des modules sur un anneau principal, produit tensoriel. Lemme de Nakayama. Modules injectifs et projectifs.
– Introduction à la géométrie algébrique : ensembles algébriques affines, topologie de Zariski, Nullstellensatz, spectre maximal et spectre premier.
-- Théorie de Galois : extensions algébriques et transcendantes de corps, corps finis et codes linéaires, extensions séparables et normales, extensions galoisiennes finies et infinies, groupes de Galois. Applications en géométrie arithmétique.

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral et travaux dirigés / ECTS : 12 / Volume horaire : 2,5h de cours et 2h de TD par semaine (14) / Langue : Français / Modalités de contrôle des connaissances : partiel et examen



Le but du cours est de présenter quelques outils classiques de l'analyse des équations aux dérivées partielles (EDP). Après l'étude de quelques EDP linéaires importantes (transport, Laplace/Poisson, chaleur, ondes) -- Chapitre 1, nous verrons comment construire des solutions à des équations linéaires qui sont "elliptiques" et à coefficients continus (théorie de Schauder, Chapitre 2), puis nous construirons des solutions à des équations non-linéaires d'ordre 1 (Chapitre 3) par la méthode des caractéristiques. Nous verrons ensuite comment définir une notion de solutions faibles aux équations de Hamilton-Jacobi, puis comment construire de telles solutions et montrer qu'elles sont uniques (Chapitre 4). La fin du cours sera consacré à la théorie de la régularité elliptique développée par E. De Giorgi.

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Atelier/ ECTS : 6 /
Objectifs et description du cours


Bertrand Maury et Cyril Letrouit


Le point de départ cet atelier est le suivant: une première séance est consacrée à la présentation par un industriel d’une problématique à laquelle il est confronté. Cette problématique ne se présente pas nécessairement sous la forme forme d’un problème mathématisé, mais on peut espérer qu’une formalisation mathématique permette d’apporter des éléments de réponses, par utilisation d’outils existants, ou introduction d’outils conceptuels nouveaux, avec éventuellement utilisation de la simulation numérique pour approfondir l’exploration .
Le groupe de participants disposera alors de quelques semaines, en toute autonomie, pour apporter des éléments de réponse à ce problème, qui seront présentés lors d’une séance de clôture à l’intervenant industriel, et feront l’objet d’un rapport de synthèse des pistes explorées.

Cet « exercice » a vocation à familiariser les élèves avec la démarche de modélisation ex nihilo, qui consiste à formaliser un problème concret donné sous forme brute, et à explorer diverses pistes d’études en confrontant systématiquement les résultats théoriques et/ou numériques à la réalité.
Ce module d’ouverture s’adresse potentiellement à tous les élèves, y compris à ceux qui n’envisagent aucunement de se diriger vers le monde de l’entreprise, et / ou qui pourraient avoir du mal à concevoir que leur bagage puisse leur permettre d’apporter des éléments de réponse à une problématique industrielle.

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : / ECTS : 12 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : 3h par semaine + 2h de TD Langue : Français
Pré-requis : un cours de base probabilités avec théorie de la mesure
Modalités de contrôle des connaissances :

partiel et examen

Objectifs et description du cours :

le cours est une introduction aux processus stochastique (surtout en temps discret). Le cours débute en reprenant la convergence en loi et le Théorème Central Limite (pour des familles triangulaires de variables aléatoires). Puis on traitera la notion d'espérance conditionnelle, qui nous permettra d'introduire et étudier les processus stochastique qui sont des (sous/sur)martingales. Une théorie assez complète des Chaînes de Markov avec espace d'état dénombrable sera ensuite développée. La partie finale du cours traitera de certains processus en temps continu (Chaînes de Markov avec espace d'état dénombrable et temps continu, le mouvement brownien) et de quelques processus issus de la mécanique statistique.

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours

Niveau : M1 / Période : Semestre 1 / Type de cours : Cours magistral / ECTS : 12 / Volume horaire : - h / Langue : Français
Pré-requis :
Modalités de contrôle des connaissances :

Objectifs et description du cours